Questão 137 — ENEM 2021 — Matemática
Gabarito oficial com explicação por IA — fonte: INEP — Provas e Gabaritos ENEM 2021
O Atomiuim, representado na imagem é um
dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi
construído em 1958 para a primeira grande exposição
mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira
Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no
formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um
dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo,
e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal
ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo,
foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra
esfera foi construída centrada no ponto de interseção das
diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são
interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se
conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos
cilíndricos que possuem escadas em seu interior,
permitindo o deslocamento de pessoas pela parte
interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o
deslocamento é feito por um elevador, que permite o
deslocamento entre as esferas da base e a esfera do
ponto mais alto, passando pela esfera central.
Considere um visitante que se deslocou pelo interior
do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passand0 por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por
Explicação por IA
A questão explora a razão áurea φ ≈ 1,618, que satisfaz φ² = φ + 1, e pede a expressão de φ⁷ na forma aφ + b. Usando a relação de recorrência φ² = φ + 1, eleva-se progressivamente: φ³ = φ² × φ = (φ+1)φ = φ² + φ = (φ+1) + φ = 2φ + 1 φ⁴ = φ × φ³ = φ(2φ+1) = 2φ² + φ = 2(φ+1) + φ = 3φ + 2 φ⁵ = 5φ + 3 φ⁶ = 8φ + 5 φ⁷ = 13φ + 8 Portanto a = 13 e b = 8 — os coeficientes são os números de Fibonacci! Dica: a razão áurea e os números de Fibonacci estão intimamente ligados. Toda potência de φ pode ser escrita como aφ + b onde a e b são consecutivos na sequência de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21...). Alternativa correta: E.