Logaritmos aparecem em 1–2 questões por prova do ENEM e costumam ser questões acessíveis para quem domina as propriedades. O segredo está em entender a relação entre logaritmo e exponencial.
Definição: O que é um Logaritmo?
log_a(b) = x significa que aˣ = b
Em palavras: "logaritmo de b na base a é x" significa "a elevado a x é igual a b".
Exemplos:
- log₂(8) = 3 → porque 2³ = 8
- log₁₀(100) = 2 → porque 10² = 100
- log₃(27) = 3 → porque 3³ = 27
Condições para o logaritmo existir:
- b > 0 (logaritmando positivo)
- a > 0 e a ≠ 1 (base positiva e diferente de 1)
Logaritmos Especiais
Logaritmo decimal (log):
log(x) = log₁₀(x) — quando não tem base escrita, é base 10
Logaritmo natural (ln):
ln(x) = log_e(x) — base e (número de Euler, e ≈ 2,718)
O ENEM usa principalmente log decimal.
Valores que você deve saber de cor:
- log(1) = 0 → porque 10⁰ = 1
- log(10) = 1 → porque 10¹ = 10
- log(100) = 2 → porque 10² = 100
- log(0,1) = –1 → porque 10⁻¹ = 0,1
- log(2) ≈ 0,301 (fornecido pelo ENEM quando necessário)
- log(3) ≈ 0,477 (fornecido pelo ENEM quando necessário)
As 4 Propriedades Fundamentais
1. Produto:
log_a(M × N) = log_a(M) + log_a(N)
Exemplo: log(2 × 5) = log(10) = 1 = log(2) + log(5)
2. Quociente:
log_a(M / N) = log_a(M) – log_a(N)
Exemplo: log(100/10) = log(10) = 1 = log(100) – log(10) = 2 – 1
3. Potência:
log_a(Mⁿ) = n × log_a(M)
Exemplo: log(10³) = 3 × log(10) = 3 × 1 = 3
4. Mudança de Base:
log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)
Mais usada para converter para base 10: log_a(b) = log(b) / log(a)
Equações Logarítmicas
Tipo 1: Equação direta
log₂(x) = 4 → x = 2⁴ = 16
Tipo 2: Usando propriedades
log(x) + log(x–1) = 1
log(x(x–1)) = 1
x(x–1) = 10¹ = 10
x² – x – 10 = 0
x = (1 + √41)/2 ≈ ... (verificar se x > 0 e x–1 > 0)
Tipo 3: Logaritmos iguais → logaritmandos iguais
log(2x–1) = log(x+3)
2x – 1 = x + 3
x = 4
Atenção: Sempre verificar as condições de existência no final!
Inequações Logarítmicas
Diferente das equações, nas inequações a base importa para o sentido da desigualdade:
- Se a > 1: log_a(x) > k → x > aᵏ (sentido mantido)
- Se 0 < a < 1: log_a(x) > k → x < aᵏ (sentido invertido)
Como o ENEM Aplica Logaritmos
O ENEM sempre contextualiza. Os contextos mais frequentes:
Escala de Decibéis (Som)
dB = 10 × log(I / I₀)
Questões típicas: "Se a intensidade dobra, quantos dB aumenta?" → 10 × log(2) ≈ 3 dB
pH (Acidez/Basicidade)
pH = –log[H⁺]
Questões típicas: "pH 4 tem [H⁺] de 10⁻⁴ mol/L. Se pH passa a 2, a concentração multiplica por quanto?"
→ 10⁻² / 10⁻⁴ = 100 vezes mais ácido
Escala Richter (Terremotos)
M = log(A / A₀)
Questões típicas: "Um terremoto de magnitude 7 é quantas vezes mais forte que um de magnitude 5?"
→ 10⁷ / 10⁵ = 100 vezes
Crescimento Bacteriano / Decaimento
N(t) = N₀ × aᵗ
Quando a incógnita está no expoente, o logaritmo entra para resolver:
2ᵗ = 64 → t × log(2) = log(64) → t = log(64)/log(2) = 6
Estratégia de Estudo: 2 Semanas
Semana 1:
- Definição e conversão logaritmo ↔ exponencial
- As 4 propriedades com exemplos
- Equações logarítmicas simples
Semana 2:
- Questões ENEM de 2014 a 2024 sobre logaritmos
- Foco nos contextos: dB, pH, Richter
- Inequações logarítmicas
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