Progressões Aritmética e Geométrica no ENEM: Fórmulas e Questões 2026

Progressões Aritmética (PA) e Geométrica (PG) são temas frequentes em Matemática no ENEM. Aparecem em 1–2 questões por prova e costumam ser acessíveis para quem domina as fórmulas.

Progressão Aritmética (PA)

Definição: Sequência onde a diferença entre termos consecutivos é constante.

Essa diferença constante é chamada de razão (r).

Exemplo: 2, 5, 8, 11, 14, ... → r = 3

Fórmulas da PA

Termo geral:

aₙ = a₁ + (n – 1) · r

onde:

• aₙ = n-ésimo termo
• a₁ = primeiro termo
• n = posição do termo
• r = razão

Soma dos n primeiros termos:

Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

ou equivalentemente: Sₙ = n · (2a₁ + (n–1)r) / 2

Como Identificar PA em Questões ENEM

• Plano de pagamentos com parcelas iguais ou acréscimo fixo
• Temperatura aumentando ou diminuindo a taxa constante
• Contagem de objetos dispostos em fileiras com mesmo acréscimo
• Sequências numéricas em padrão regular

Exemplo de Questão ENEM com PA

"Uma empresa tem 15 funcionários no primeiro mês e contrata 3 por mês. Quantos no 12º mês?"

a₁ = 15, r = 3, n = 12

a₁₂ = 15 + (12–1) × 3 = 15 + 33 = 48 funcionários

Progressão Geométrica (PG)

Definição: Sequência onde o quociente entre termos consecutivos é constante.

Esse quociente é chamado de razão (q).

Exemplo: 2, 6, 18, 54, ... → q = 3

Fórmulas da PG

Termo geral:

aₙ = a₁ · q^(n–1)

Soma dos n primeiros termos (q ≠ 1):

Sₙ = a₁ · (qⁿ – 1) / (q – 1)

Soma de infinitos termos (PG infinita com |q| < 1):

S∞ = a₁ / (1 – q)

Como Identificar PG em Questões ENEM

• Juros compostos: o dinheiro multiplica por (1+i) a cada período
• Crescimento populacional com taxa percentual constante
• Dobramentos: papel dobrado n vezes, bactérias duplicando
• Decaimento: depreciação de veículo por percentual constante

Exemplo de Questão ENEM com PG

"Uma bactéria se divide em 2 a cada hora. Começando com 1, quantas haverá após 8 horas?"

a₁ = 1, q = 2, n = 9 (8 horas = 9 termos a partir do 1)

a₉ = 1 × 2^(9–1) = 2⁸ = 256 bactérias

PA vs. PG: Como Distinguir

Regra prática: Se o problema envolve acréscimo/decréscimo em valor fixo → PA. Se envolve porcentagem ou multiplicação → PG.

Progressões Especiais que Aparecem no ENEM

Propriedades da PA

• Três termos em PA: a, b, c → b = (a + c) / 2 (média aritmética)
• Quatro termos em PA: a, b, c, d → a + d = b + c

Propriedades da PG

• Três termos em PG: a, b, c → b² = a × c (média geométrica)

Contextos Frequentes no ENEM

Juros compostos (sempre PG):

M = C × (1 + i)ⁿ

onde C = capital, i = taxa, n = períodos, M = montante

Crescimento com taxa constante (PG):

P(t) = P₀ × (1 + r)^t

Sequência de parcelas iguais (PA com r = 0 = progressão constante):

Soma = n × parcela

Escadas e fileiras (pode ser PA):

Número de objetos em cada degrau seguindo um padrão de acréscimo fixo.

Dicas para Questões de Progressão no ENEM

Dica 1: Escreva os primeiros termos

Quando em dúvida se é PA ou PG, escreva 3–4 termos e observe o padrão. Isso raramente falha.

Dica 2: Cuidado com o índice

A fórmula do n-ésimo termo usa (n–1). Se pede o 10º termo, é a₁ + 9r, não a₁ + 10r.

Dica 3: PA com soma usa a média

Sₙ = n × (a₁ + aₙ)/2 é a fórmula mais rápida quando você já sabe a₁ e aₙ.

Dica 4: PG com juros compostos

Juros compostos no ENEM sempre são PG. Memorize: M = C(1+i)ⁿ e saberá resolver 95% das questões de juros.

Plano de Estudo: 2 Semanas

Semana 1 — PA:

• Decore as fórmulas (termo geral + soma)
• Resolva 15 questões ENEM sobre PA
• Foco em contextos: escadas, pagamentos, sequências numéricas

Semana 2 — PG:

• Decore as fórmulas
• Resolva 15 questões ENEM sobre PG
• Foco em: juros compostos, crescimento/decaimento, dobramentos

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